100.00₽
Финансовая математика. Решение задач.
Образцы экзаменационных задач Финансовый университет при Правительстве РФ, 2020
Заказать решение своей задачи:
Блок 1. Проценты, ставки и счета
Задача 1. (15 баллов)
25.11.15 вкладчик открывает срочный на срок 830 (точных) дня(ей). Какова годовая (простая) нормированная процентная ставка вклада если начальная сумма вклада равна 18000,00 руб., а конечная сумма 25000,00 руб.. При решении задачи использовать правило 30/360.
Задача 2. (10 баллов)
Вкладчик 06.06.16 вносит 2000,00 долл. на накопительный счет в банке. 06.12.16 он снимает со счета 1000,00 долл., а 16.03.17 вносит 1200,00долл. Каково состояние полного счета после последнего взноса, если проценты начисляются по эффективной ставке 12,00% годовых. Правило АСТ/365.
Задача 3 (10 баллов)
Вкладчик 20.03.16 вносит 2600,00 долл. на накопительный счет в банке. 16.09.16 он снимает со счета 2000,00 долл., а 15.03.17 вносит 1500,00 долл. После этого полный счет становится равным 2200,00 долл. Какова эффективная ставка счета? Правило АСТ/360.
Задача 4. (10 баллов)
Вкладчик открывает счет 18.05.17 на сумму 5000,00 руб. Найти дату закрытия вклада, если сумма вклада на момент закрытия равна 5200,00, а простая годовая ставка счета 20,00%. Правило АСТ/365.
Задача 5. (10 баллов)
Темпы инфляции за 4 последовательных года равны соответственно 4%, 5%, 6% и 8%. Найти среднегодовой темп инфляции за четыре года.
Задача 6. (10 баллов)
Найти номинальную годовую ставку с ежемесячным начислением эквивалентную двухмесячной ставке начисления 2%.
Задача 7. (10 баллов)
Банк начисляет проценты 4 раза в год. Найти ставку начисления вклада, если за 4,8 года вклад вырос в 1,6 раз. Непрерывная модель сложных процентов.
Задача 8. Найти приведенную к полюсу р =2 стоимость потока платежей заданного таблицей в годовой шкале
t: 1 2 3 4 5
Ct: $100; $110; -$180; $200; $400;
если эффективная годовая ставка 15,00%.
Блок 2. Ренты
Задача 1. (10 баллов)
Вкладчик вносит 2 раза в год 1000 руб. на накопительный счет в течение 10 лет. Проценты по рентным платежам начисляются 12 раз в год по номинальной годовой ставке 16%. Каковы а) будущая и б) текущая стоимости такой ренты? Рента авансированная.
Задача 2. (10 баллов)
Текущая стоимость кратной обыкновенной ренты составляет 2500 руб. Срок ренты 12 года. Кратность платежей 4 раза в год. Найти будущую стоимость ренты, если проценты начисляются 2 раза в год по номинальной ставке 8% годовых.
Задача 3. (15 баллов)
Вкладчик вносит 4000 руб. в начале каждого полугодия в течение 10 лет. Какую сумму накопит вкладчик к концу 10 года, если банк начисляет проценты ежемесячно по ставке 0,8% за месяц.
Задача 5. (10 баллов)
Какую сумму нужно ежеквартально вносить в банк, чтобы к концу 10 года накопить 50000 руб. если ставка банка 12% годовых, начисляемых 2 раза в год? Рента авансированная.
Задача 6. (15 баллов)
Будущая стоимость авансированной 6 летней ренты, платежи по которой выплачиваются 12 раз в год, в 8 раз больше ее текущей стоимости. Найти номинальную годовую ставку ренты, период начисления которой совпадает с периодом ренты.
Задача 7.
Найти ставку начисления за период бессрочной обыкновенной ренты с полугодовыми выплатами, если текущая стоимость ренты равна $6000, а суммарный годовой платеж $2000.
Блок 3. Облигации
Задача 1. (10 баллов)
Найти стоимость облигации с номиналом 1000 руб. купонной ставкой 10,00% годовых, сроком до погашения 8 лет, если купоны полугодовые, а эффективная рыночная ставка 12,00% годовых.
Задача 2. (10 баллов) Облигация с номиналом 1000 руб. купонной ставкой 8% годовых, сроком до погашения шесть лет, и полугодовыми купонами. Найти чистую стоимость облигации через 1,6 года, если в момент продажи рыночная ставка равна 10% годовых.
Задача 3. (10 баллов)
На 05.04.2014 найти чистую цену облигации с номиналом $1000, датой погашения 15.10.2018, купонной ставкой 15,00% годовых. Купоны годовые, а рыночная эффективная ставка равна 8,00% годовых. Правило АСТ/АСТ.
Задача 4. (10 баллов)
В таблице приведены спот-ставки для 4 годовых периодов. Найти теоретическую цену
k | 1 | 2 | 3 | 4 |
sk | 10% | 12% | 14% | 18% |
4-летней облигации с номиналом 1000 руб. и годовыми купонами по 10,00% годовых.
Задача 5. (10 баллов)
Найти дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации с годовыми купонами, с параметрами F=1000 руб., с = 10%, m = 5 лет, при рыночной эффективной ставке 8%.
Задача 6. (15 баллов)
Облигации В1 и В2 с номиналом 1000 руб. одинаковые сроки погашения и купонные ставки 10,00% и 8,00%. Найти цену облигации В3 с теми же номиналом, сроком погашения и купонной ставкой 9,00%, если цены облигаций В1 и В2 равны 860 руб. и 900 руб.
Задача 7. (15 баллов)
Бескупонная облигация номиналом 1000 руб. сроком до погашения 10 лет стоит 800,00 руб. Сколько стоит облигация с тем же номиналом и сроком погашения 16 год, при том же уровне рыночной ставки.
Задача 8. (15 баллов)
Найти номинальную дкп облигации заданной параметрами F=$1000; c=10%; m=1 год; f=2 р/г; P= $900
Задача 9. (10 баллов) % 0,78740157
Двухлетняя облигация с номиналом 1000 руб, с годовыми купонами стоит 950,00 руб. Найти эффективную доходность к погашению этой облигации, если купонная ставка облигации 10% годовых.
Задача 10. (10 баллов)
Десятилетняя бескупонная облигация с номиналом $1000 стоит $400. Сколько будет стоить эта облигация через пять лет если эффективные годовые процентные ставки ежегодно будут увеличиваться на 1% .
Блок 3. Финансовые сделки с активами
Задача 1. (10 баллов)
Инвестор купил 100 акций А по цене 200$, Спустя полгода инвестор продал все акции по цене 210$. Найти эффективную годовую доходность сделки, если ставка комиссии 2%.
Задача 2. (15 баллов)
Инвестор с капиталом в 100 000$ сформировал портфель из акций В и С с вектором весов
w = (0,2; 0,8). Начальные цены акций $200,0 и $400,0 соответственно.
Найти вектор позиций сделки с учетом комиссии равной 4,00%.
Задача 3. (15 баллов)
Инвестор открыл портфельную сделку, купив 600 акций A по $500,00 и 300 акций В по $400,00. Спустя полгода он закрыл сделку по ценам $520,00 и $410,00 соответственно. За полгода по акциям А и В были получены дивиденды $10 и $5. Налог взимается с сальдо полного дохода сделки по ставке 15,00%. Годовой темп инфляции равен 8,00%, а ставка комиссии составляет 2,50%. Найти чистую реальную эффективную доходность сделки.
Задача 4. (10 баллов) Инвестор с начальным капиталом 100000 руб. сформировал портфель из активов А1 и А2 с вектором весов w=(2; -1). Найти доходность портфеля с учетом комиссии 4%, если доходности активов за период сделки равны 20% и 10% соответственно.
Задача 5. (15 баллов)
Инвестор с начальным капиталом 100000 долл. Формирует портфель из активов А и В по начальной цене 200 и 150 соответственно. Конечная цена активов А и В равна 210 и 180 соответственно. Найти максимальную прибыль за полгода, которую может заработать инвестор с учетом комиссии 2,00% (но без налогов) если веса активов удовлетворяют ограничениям:
-0,3≤ w1 ≤ 0,9 ; 0,5≤ w2 ≤ 4,0 ;
Задача 6. (15 баллов)
Акции А и В имеют начальные цены $100 и $80 , а конечные $120 и $60 соответственно. Найти арбитражный портфель 2 –го рода обеспечивающий чистую прибыль $2000, если ставка комиссии 4%, а ставка налога 20%.
Задача 7 . (15 баллов)
Пусть А, В, и С имеют попарно убывающие доходности rA > rB > rC . Найти портфель с весами w=(w1,w2,w3) удовлетворяющими ограничениям ai ≤ wi ≤ bi где
a1 = 0,1; a2 = -0,5; a3 = 0,2; b1 =2,7; b2=2,1; b3=4,2.
Блок 4. Оптимизация портфеля
Задача 1. (15 баллов)
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2: m1 = 1,0; m2 = 2,0; s1 = 2,0; s2 =3,0; r12 = -0,5. Найти портфель с наименьшим риском в модели Марковица
Задача 2. (15 баллов)
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2: m1 = 4,0; m2 = 5,0; s1 = 2,0; s2 =3,0 r12 = 0,8. Найти портфель с минимальным риском доходность которого не меньше Е0 = 2,50 в модели Марковица.
Задача 3. (15 баллов)
Рынок из двух активов А1 и А2 имеет параметры: m1=1; m2=2; s1=2; s2=3; r12= – 0.5, Найти максимальную доходность среди портфелей без коротких позиций вариация которых не больше 8.
Задача 4. (15 баллов)
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2: m1 = 4,0; m2 = 5,0; s1 = 1,0; s2 = 4,0 r12 = -0,4. Найти портфель с максимальной полезностью для коэффициента неприятия риска q = 2 в модели Марковица.
Ответ:
Задача 5. (15 баллов)
Заданы следующие параметры рынка из двух активов А1 , А2: m1 = 4,0; m2 = 5,0; s1 = 2,0; s2 = 3,0 r12 =0. Найти уравнение минимальной границы – параболы V = a2E2 + a1E + a0 на плоскости доходность-риск (E,V) как функцию параметра E и определить область возможных доходностей портфеля в модели Марковица.
Блок 5. Биномиальный рынок и оценка опционов
Задача 1. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0= $80; B0=$100; ru=20%;
rd= – 20 %; r0=10%. Найти стоимость колл опциона с ценой исполнения К= $75.
Задача 2. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0= $80; B0=$100; ru=20%;
rd= – 20 %; r0=10%; Найти стоимость пут опциона с ценой исполнения К= $60.
Задача 3. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0= $80; B0=$100; ru=20%;
rd= – 5 %; r0=10%; Найти стоимость актива с платежами Au=$50; Ad= -$10.
Задача 4. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0=$80; B0=$100; Su=$100;
Sd= 60; Bd=$100; Найти риск- нейтральную меру рынка и стоимость колл-опциона с ценой исполнения К= $50.
Задача 5. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0=$80; B0=$100; Su=$100;
Sd= 40; Bu=Bd=$110; Найти начальную стоимость портфеля 10S – 5C, где С колл опцион с ценой исполнения К=$60.
Задача 6. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0=$100; B0=$100; Su=$120;
Sd= 40; Bu=Bd=$110; Найти начальную стоимость портфеля P + C, где P- пут а С колл опцион с одинаковой ценой исполнения К=$60.
Ответ:
Задача 7. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0=$80; Su=$120;
Sd= 40; Найти безрисковую ставку если риск нейтральная вероятность qu=0,6.
Задача 8. (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: Sd=$80; Su=$120; B0=$60; B1=$120. Найти начальную стоимость S0 акции, если риск-нейтральная вероятность qd=0,2.
Задача 9 (15 баллов)
Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S0=$80; Su=$120; r0=20%. Найти стоимость Sd акции в состоянии d, если риск-нейтральная вероятность qu=0,6.
Посмотреть другие решения на экзамене
Посмотреть другие задания по Финансовой математике