Финансовая математика Решение задач

Финансовая математика. Решение задач.

Образцы экзаменационных задач Финансовый университет при Правительстве РФ, 2020

Заказать решение своей задачи:

Вконтакте

WhatsApp

Блок 1. Проценты, ставки и счета

Задача 1. (15 баллов)

25.11.15 вкладчик открывает срочный на срок 830 (точных) дня(ей). Какова годовая (простая) нормированная процентная ставка вклада если начальная сумма вклада равна 18000,00 руб., а конечная сумма 25000,00 руб.. При решении задачи использовать правило 30/360.

Задача 2. (10 баллов)

Вкладчик 06.06.16 вносит 2000,00 долл. на накопительный счет в банке. 06.12.16 он снимает со счета 1000,00 долл., а 16.03.17 вносит 1200,00долл. Каково состояние полного счета после последнего взноса, если проценты начисляются по эффективной ставке 12,00% годовых. Правило АСТ/365.

Задача 3 (10 баллов)

Вкладчик 20.03.16 вносит 2600,00 долл. на накопительный счет в банке. 16.09.16 он снимает со счета 2000,00 долл., а 15.03.17 вносит 1500,00 долл. После этого полный счет становится равным 2200,00 долл. Какова эффективная ставка счета? Правило АСТ/360.

Задача 4. (10 баллов)

Вкладчик открывает счет 18.05.17 на сумму 5000,00 руб. Найти дату закрытия вклада, если сумма вклада на момент закрытия равна 5200,00, а простая годовая ставка счета 20,00%. Правило АСТ/365.

Задача 5. (10 баллов)

Темпы инфляции за 4 последовательных года равны соответственно 4%, 5%, 6% и 8%. Найти среднегодовой темп инфляции за четыре года.

Задача 6. (10 баллов)

Найти номинальную годовую ставку с ежемесячным начислением эквивалентную двухмесячной ставке начисления 2%.

Задача 7. (10 баллов)

Банк начисляет проценты 4 раза в год. Найти ставку начисления вклада, если за 4,8 года вклад вырос в 1,6 раз. Непрерывная модель сложных процентов.

Задача 8. Найти приведенную к полюсу р =2 стоимость потока платежей заданного таблицей в годовой шкале

t: 1 2 3 4 5

C_t: $100; $110; -$180; $200; $400;

если эффективная годовая ставка 15,00%.

 

Блок 2. Ренты

Задача 1. (10 баллов)

Вкладчик вносит 2 раза в год 1000 руб. на накопительный счет в течение 10 лет. Проценты по рентным платежам начисляются 12 раз в год по номинальной годовой ставке 16%. Каковы а) будущая и б) текущая стоимости такой ренты? Рента авансированная.

Задача 2. (10 баллов)

Текущая стоимость кратной обыкновенной ренты составляет 2500 руб. Срок ренты 12 года. Кратность платежей 4 раза в год. Найти будущую стоимость ренты, если проценты начисляются 2 раза в год по номинальной ставке 8% годовых.

Задача 3. (15 баллов)

Вкладчик вносит 4000 руб. в начале каждого полугодия в течение 10 лет. Какую сумму накопит вкладчик к концу 10 года, если банк начисляет проценты ежемесячно по ставке 0,8% за месяц.

Задача 5. (10 баллов)

Какую сумму нужно ежеквартально вносить в банк, чтобы к концу 10 года накопить 50000 руб. если ставка банка 12% годовых, начисляемых 2 раза в год? Рента авансированная.

Задача 6. (15 баллов)

Будущая стоимость авансированной 6 летней ренты, платежи по которой выплачиваются 12 раз в год, в 8 раз больше ее текущей стоимости. Найти номинальную годовую ставку ренты, период начисления которой совпадает с периодом ренты.

Задача 7.

Найти ставку начисления за период бессрочной обыкновенной ренты с полугодовыми выплатами, если текущая стоимость ренты равна $6000, а суммарный годовой платеж $2000.

 

Блок 3. Облигации

Задача 1. (10 баллов)

Найти стоимость облигации с номиналом 1000 руб. купонной ставкой 10,00% годовых, сроком до погашения 8 лет, если купоны полугодовые, а эффективная рыночная ставка 12,00% годовых.

Задача 2. (10 баллов) Облигация с номиналом 1000 руб. купонной ставкой 8% годовых, сроком до погашения шесть лет, и полугодовыми купонами. Найти чистую стоимость облигации через 1,6 года, если в момент продажи рыночная ставка равна 10% годовых.

Задача 3. (10 баллов)

На 05.04.2014 найти чистую цену облигации с номиналом $1000, датой погашения 15.10.2018, купонной ставкой 15,00% годовых. Купоны годовые, а рыночная эффективная ставка равна 8,00% годовых. Правило АСТ/АСТ.

Задача 4. (10 баллов)

В таблице приведены спот-ставки для 4 годовых периодов. Найти теоретическую цену

k	1	2	3	4
sk	10%	12%	14%	18%

4-летней облигации с номиналом 1000 руб. и годовыми купонами по 10,00% годовых.

Задача 5. (10 баллов)

Найти дюрацию Маколея и модифицированную дюрацию облигации с годовыми купонами, с параметрами F=1000 руб., с = 10%, m = 5 лет, при рыночной эффективной ставке 8%.

Задача 6. (15 баллов)

Облигации В1 и В2 с номиналом 1000 руб. одинаковые сроки погашения и купонные ставки 10,00% и 8,00%. Найти цену облигации В3 с теми же номиналом, сроком погашения и купонной ставкой 9,00%, если цены облигаций В1 и В2 равны 860 руб. и 900 руб.

Задача 7. (15 баллов)

Бескупонная облигация номиналом 1000 руб. сроком до погашения 10 лет стоит 800,00 руб. Сколько стоит облигация с тем же номиналом и сроком погашения 16 год, при том же уровне рыночной ставки.

Задача 8. (15 баллов)
Найти номинальную дкп облигации заданной параметрами F=$1000; c=10%; m=1 год; f=2 р/г; P= $900

Задача 9. (10 баллов) % 0,78740157

Двухлетняя облигация с номиналом 1000 руб, с годовыми купонами стоит 950,00 руб. Найти эффективную доходность к погашению этой облигации, если купонная ставка облигации 10% годовых.

Задача 10. (10 баллов)

Десятилетняя бескупонная облигация с номиналом $1000 стоит $400. Сколько будет стоить эта облигация через пять лет если эффективные годовые процентные ставки ежегодно будут увеличиваться на 1% .

Блок 3. Финансовые сделки с активами

Задача 1. (10 баллов)

Инвестор купил 100 акций А по цене 200$, Спустя полгода инвестор продал все акции по цене 210$. Найти эффективную годовую доходность сделки, если ставка комиссии 2%.

Задача 2. (15 баллов)

Инвестор с капиталом в 100 000$ сформировал портфель из акций В и С с вектором весов

w = (0,2; 0,8). Начальные цены акций $200,0 и $400,0 соответственно.
Найти вектор позиций сделки с учетом комиссии равной 4,00%.

Задача 3. (15 баллов)

Инвестор открыл портфельную сделку, купив 600 акций A по $500,00 и 300 акций В по $400,00. Спустя полгода он закрыл сделку по ценам $520,00 и $410,00 соответственно. За полгода по акциям А и В были получены дивиденды $10 и $5. Налог взимается с сальдо полного дохода сделки по ставке 15,00%. Годовой темп инфляции равен 8,00%, а ставка комиссии составляет 2,50%. Найти чистую реальную эффективную доходность сделки.

Задача 4. (10 баллов) Инвестор с начальным капиталом 100000 руб. сформировал портфель из активов А₁ и А₂ с вектором весов w=(2; -1). Найти доходность портфеля с учетом комиссии 4%, если доходности активов за период сделки равны 20% и 10% соответственно.

Задача 5. (15 баллов)

Инвестор с начальным капиталом 100000 долл. Формирует портфель из активов А и В по начальной цене 200 и 150 соответственно. Конечная цена активов А и В равна 210 и 180 соответственно. Найти максимальную прибыль за полгода, которую может заработать инвестор с учетом комиссии 2,00% (но без налогов) если веса активов удовлетворяют ограничениям:
-0,3≤ w₁ ≤ 0,9 ; 0,5≤ w₂ ≤ 4,0 ;

Задача 6. (15 баллов)

Акции А и В имеют начальные цены $100 и $80 , а конечные $120 и $60 соответственно. Найти арбитражный портфель 2 –го рода обеспечивающий чистую прибыль $2000, если ставка комиссии 4%, а ставка налога 20%.

Задача 7 . (15 баллов)

Пусть А, В, и С имеют попарно убывающие доходности r_A > r_B > r_C . Найти портфель с весами w=(w₁,w₂,w₃) удовлетворяющими ограничениям a_i ≤ w_i ≤ b_i где

a₁ = 0,1; a₂ = -0,5; a₃ = 0,2; b₁ =2,7; b₂=2,1; b₃=4,2.

 

Блок 4. Оптимизация портфеля

Задача 1. (15 баллов)

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂: m₁ = 1,0; m₂ = 2,0; s₁ = 2,0; s₂ =3,0; r₁₂ = -0,5. Найти портфель с наименьшим риском в модели Марковица

Задача 2. (15 баллов)

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂: m₁ = 4,0; m₂ = 5,0; s₁ = 2,0; s₂ =3,0 r₁₂ = 0,8. Найти портфель с минимальным риском доходность которого не меньше Е₀ = 2,50 в модели Марковица.

Задача 3. (15 баллов)

Рынок из двух активов А₁ и А₂ имеет параметры: m₁=1; m₂=2; s₁=2; s₂=3; r₁₂= – 0.5, Найти максимальную доходность среди портфелей без коротких позиций вариация которых не больше 8.

Задача 4. (15 баллов)

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂: m₁ = 4,0; m₂ = 5,0; s₁ = 1,0; s₂ = 4,0 r₁₂ = -0,4. Найти портфель с максимальной полезностью для коэффициента неприятия риска q = 2 в модели Марковица.

Ответ:

Задача 5. (15 баллов)

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂: m₁ = 4,0; m₂ = 5,0; s₁ = 2,0; s₂ = 3,0 r₁₂ =0. Найти уравнение минимальной границы – параболы V = a₂E² + a₁E + a₀ на плоскости доходность-риск (E,V) как функцию параметра E и определить область возможных доходностей портфеля в модели Марковица.

Блок 5. Биномиальный рынок и оценка опционов

Задача 1. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀= $80; B₀=$100; r_u=20%;
r_d= – 20 %; r₀=10%. Найти стоимость колл опциона с ценой исполнения К= $75.

Задача 2. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀= $80; B₀=$100; r_u=20%;
r_d= – 20 %; r₀=10%; Найти стоимость пут опциона с ценой исполнения К= $60.

Задача 3. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀= $80; B₀=$100; r_u=20%;
r_d= – 5 %; r₀=10%; Найти стоимость актива с платежами A_u=$50; A_d= -$10.

Задача 4. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀=$80; B₀=$100; S_u=$100;
S_d= 60; B_d=$100; Найти риск- нейтральную меру рынка и стоимость колл-опциона с ценой исполнения К= $50.

Задача 5. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀=$80; B₀=$100; S_u=$100;
S_d= 40; B_u=B_d=$110; Найти начальную стоимость портфеля 10S – 5C, где С колл опцион с ценой исполнения К=$60.

Задача 6. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀=$100; B₀=$100; S_u=$120;
S_d= 40; B_u=B_d=$110; Найти начальную стоимость портфеля P + C, где P- пут а С колл опцион с одинаковой ценой исполнения К=$60.

Ответ:

Задача 7. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀=$80; S_u=$120;
S_d= 40; Найти безрисковую ставку если риск нейтральная вероятность q_u=0,6.

Задача 8. (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S_d=$80; S_u=$120; B₀=$60; B₁=$120. Найти начальную стоимость S₀ акции, если риск-нейтральная вероятность q_d=0,2.

Задача 9 (15 баллов)

Биномиальный однопериодный рынок (B;S) имеет параметры: S₀=$80; S_u=$120; r₀=20%. Найти стоимость S_d акции в состоянии d, если риск-нейтральная вероятность q_u=0,6.

Посмотреть другие решения на экзамене
Посмотреть другие задания по Финансовой математике